Funktion f


\(\\\)

Aufgabe 1 Punkt A

Wir definieren zunächst die Funktion \(f\).

Beachte: Der Mal-Punkt muss bei der Definition mitgeschrieben werden.

my image

\(\\\)

Die Höhe wird mit

my image

\(\\\)

berechnet. Die Höhe ist also \(5{,}77 \, m\). Die Steigung im Punkt \(A\) berechnen wir mit der 1. Ableitung von \(f\).

my image

\(\\[2em]\)

Aufgabe 2 Breite des Deiches

my image

Für die Breite lösen wir die Gleichung

\( \quad f(x) \; = \; 0{,}5 \)

\(\\\)

und verwenden den Solve-Befehl mit

my image

\( \quad 8{,}260201543 - 4{,}755249463 \; \approx \; 3{,}50495208 \)

\(\\\)

Der Deich ist in dieser Höhe ungefähr \(35 \; m\) breit.

\(\\[2em]\)

Aufgabe 3 Deichhöhe

Die größte Höhe des Deiches liegt im Hochpunkt der Funktion \(f\).

notwendige Bedingung

\( \quad f'(x)=0 \)

\(\\\)

Wir lösen die Gleichung.

my image

\(\\\)

\(11{,}23606798\) liegt außerhalb des Definitionsbereichs mit \(0 \leq x \leq 9\) und kommt als gesuchter \(x\)-Wert nicht infrage.

\(\\[2em]\)

hinreichende Bedingung

\( \quad f''(x) \not= 0 \)

\(\\\)

Wir überprüfen dann \(x=6{,}763932023\) mit der 2. Ableitung vom \(f\).

my image

\(\\\)

\(f''(6{,}763932023) < 0\). Also liegt bei \(x=6{,}763932023\) ein Hochpunkt vor.

\(\\[2em]\)

Funktionswert

my image

\(\\\)

Die Deichhöhe beträgt \(9{,}68 \, m\) .

\(\\\)